רוצה לשמוע עוד על פסיכומטרי?
שם מלא לא תקין
טלפון לא תקין

טיפים מתמטיים לפסיכומטרי

 אחרי שמלמדים עשרות שנים תלמידים לבחינה הפסיכומטרית ולמבחני הבגרות, לומדים בדיוק מה הדגשים שתלמידים נוטים לשכוח, ובדיוק אילו טיפים יסייעו להם לזכור.

הנה מאגר של מונחים וכלים שאנחנו בקידום ממליצים לכם לוודא שאתם זוכרים היטב לפני הבחינה:

1. נוסחאות כפל מקוצר 

נוסחאות הכפל המקוצר הן שלוש נוסחאות המסייעות לנו לפשט ביטויים המשלבים חזקות עם פעולות חיבור וחיסור.
הנוסחה הראשונה נראית כך:
 ( a + b ) 2 = a  2 + 2 · a ·b + b 2,
והיא תתאים במצבים כמו זה: ( x + 3 ) 2.
כלומר, אם יש פעולת חיבור בין שני איברים בסוגריים, אפשר להיעזר בנוסחה: להעלות את האיבר השמאלי בריבוע, ולחבר אליו את מכפלת שני האיברים ב-2 ואת האיבר הימני בריבוע. הנה כך: ( x + 3 ) 2 = x2 + 6x + 9.

הנוסחה השנייה נראית כך:
( a - b ) 2 = a  2 - 2 · a ·b + b 2,
והיא תתאים המצבים כמו זה: ( x – 5 ) 2.
כלומר, אם יש פעולת חיסור בין שני איברים בסוגריים, אפשר להיעזר בנוסחה: להעלות את האיבר השמאלי בריבוע, לחסר ממנו את מכפלת האיברים ב-2 ולחבר אליהם את האיבר הימני בריבוע.

הנוסחה השלישית נראית כך:
 ( a – b ) · ( a + b ) = a 2 – b 2,
והיא תתאים במצב כזה: ( x – 4 ) · ( x + 4 ).
כלומר, אם יש פעולת כפל בין שני סוגריים בעלי שני איברים זהים, כאשר באחד מהם פעולת חיסור ובשני פעולת חיבור, אפשר להיעזר בנוסחה: להעלות את האיבר השמאלי בריבוע ולחסר ממנו את האיבר הימני בריבוע. בדוגמה שלנו יתקבל:
( x – 4 ) · ( x + 4 ) = x2 – 16

2. עצרת 

עצרת היא פעולה מתמטית שסימנה הוא סימן קריאה מימין למספר אליו היא מתייחסת, כך: 2!. מספר המופיע עם עצרת לצידו, מסמל את המכפלה של כל המספרים מ-1 ועד אותו המספר. לדוגמה,  4! שווה בערכו ל: 1 · 2 · 3 · 4 = 24

עצרת נפוצה בבעיות צירופים, כאשר רוצים לסדר פרטים בשורה, ולחשב כמה סידורים אפשריים ייתכנו. כך למשל, אם נישאל "בכמה דרכים שונות ניתן לסדר 5 ספרים על מדף?", התשובה תהיה 5!, כלומר 1 · 2 · 3 · 4 ⸱ 5 = 120.

3. זוגי ואי-זוגי

מספר זוגי הוא מספר המתחלק ב-2 לא שארית, כמו למשל 4. גם 0 הוא מספר זוגי. במספרים רב-ספרתיים, נדע שמספר הוא זוגי אם הספרה האחרונה שלו זוגית. כל מספר שאינו זוגי, נקרא מספר אי-זוגי. חשוב להכיר את ההתנהגות של המספרים הזוגיים והאי זוגיים בפעולות החשבון השונות:

 

חיבור וחיסור – 'כללי הזוגיות'

כפל – 'זוגי מנצח'

שני מספרים זוגיים

תוצאה זוגית

תוצאה זוגית

שני מספרים אי-זוגיים

תוצאה זוגית

תוצאה אי-זוגית

מספר אחד זוגי והשני אי-זוגי

תוצאה אי זוגית

תוצאה זוגית


בחזקות, כאשר החזקה היא מספר שלם וחיובי, התוצאה תהיה תלויה בבסיס בלבד. כאשר הבסיס זוגי, התוצאה זוגית, כאשר הבסיס אי זוגי, התוצאה אי זוגית.
 

4. מספרים עוקבים

מספרים עוקבים הם מספרים שלמים הבאים זה אחר זה בציר המספרים, למשל 2 ו-3.
כאשר נתונים שני מספרים עוקבים, בהכרח אחד יהיה זוגי והשני אי-זוגי. לכן, סכום שני מספרים עוקבים הוא תמיד אי-זוגי, ומכפלתם תמיד זוגית.
לדוגמה, אם נאמר לנו שהמספרים a ו-b  עוקבים, נוכל לבטא אותם גם כך: a, a + 1

5. מספרים ראשוניים

מספרים ראשוניים הם מספרים שיש להם בדיוק שני מחלקים שלמים וחיוביים. כלומר, הם מתחלקים רק בעצמם וב-1, כמו למשל 7.
ניתן כדוגמה את המספר
4: הוא מתחלק ב-4 וב-1 אבל גם ב-2, ולכן אינו מספר ראשוני.
7 לעומת זאת מתחלק רק ב-7 וב-1, ולכן עומד בהגדרה למספר ראשוני.
נשים לב:

1 אינו מספר ראשוני, משום שאין לו שני מחלקים.
2 הוא כן מספר ראשוני, משום שהוא מתחלק רק בעצמו וב-1. הוא המספר הראשוני הזוגי היחיד – שאר המספרים הזוגיים מתחלקים לפחות בעצמם, ב-1 וב-2.
חשוב להכיר ולזכור את המספרים הראשוניים עד
50, כפי שהם מפורטים כאן:
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47.

6. המרה משבר עשרוני לשבר פשוט

שבר עשרוני הוא שבר שנכתב תוך שימוש בנקודה עשרונית, ולא במבנה השבר המוכר, כמו למשל 0.2. משמאל לנקודה יופיע המספר השלם, והספרה מימין לנקודה מציינת את מספר העשיריות, המהוות את השבר. המספר 0.2 מורכב מ-0 שלם, ועוד 2 עשיריות. אם מימין לנקודה מופיעות שתי ספרות, הספרה השנייה תסמל את מספר המאיות.
כדי לעבור משבר עשרוני לשבר פשוט, נרשום את החלק מימין לנקודה במונה של שבר (כלומר מעל קו השבר). מאחר שמדובר בעשיריות, המכנה (המספר מתחת קו השבר) - יהיה
10. כך השבר העשרוני 0.2 יהפוך ל- 210.  
אם מופיעות שתי ספרות מימן לנקודה, נוסיף את הספרה השנייה בשבר שהמונה שלו הוא 100. כך השבר 0.25 יהפוך ל: 210+5100. כדי לחבר את השברים, יש ליצור להם מכנה משותף. נרחיב את 210 פי 10, ונקבל 20100. נחבר את השברים, ונקבל 25100. כעת, ניתן לצמצם את השבר בעזרת חילוק המונה והמכנה באותו המספר. נצמצם פי 25 ונקבל כי 1⁄4 = 0.25.

7. חילוק שברים (כלל האוזן)

כאשר נתונים שני שברים ויש לבצע ביניהם חילוק, נכפיל את המונה של המספר השמאלי (המחולק) במכנה של המספר הימני (המחלק), ונחלק את התוצאה במכפלת המכנה של השבר השמאלי במונה של המספר הימני. כדי לא להתבלבל, נוח לרשום את תרגיל החילוק כשבר ואז לסרטט שתי קשתות (שנראות כמו ציור של אוזן), שמראות לאן עולה כל חלק מהשבר התחתון (ראו שרטוט): 

לדוגמה, אם נתבקש לפתור 8: 2נרשום אותם כשבר מאונך ונקבל:

  

 

8. משפחת המקביליות

מקבילית היא מרובע שכל זוג צלעות נגדיות בו שוות ומקבילות זו לזו.
למקבילית כמה "בני משפחה" (כלומר תתי-סוגים מיוחדים):
המעוין, שהוא מקבילית שכל צלעותיה שוות 
המלבן, שהוא מקבילית שכל זוויותיה שוות ל-90° 
והריבוע שהוא מקבילית שכל צלעותיה שוות וכל זוויותיה שוות ל-90°. למעשה, ריבוע הוא מקבילית, מעוין ומלבן.

בכל מקבילית, זוויות נגדיות שוות בהכרח זו לזו (למשל, בסרטוטα γ=).

זוג זוויות סמוכות, הנשענות על אותה צלע, שוות יחד ל-180° (למשל, בסרטוט α + β = 180°).

אלכסוני המקבילית חוצים זה את זה (כלומר, כל אחד מהם נחתך לשני חלקים שווים).

כל אלכסון מחלק את המקבילית לשני משולשים חופפים (למשל, בסרטוט המשולש הכחול חופף לכתום). בנוסף, שני האלכסונים יחד מחלקים את המקבילית לארבעה משולשים שווים בשטחם. מכאן ששטח כל אחד מארבעת המשולשים שווה לרבע משטח המקבילית כולה. 


 

 

 

 

9. מצולעים משוכללים

מצולע משוכלל הוא צורה שכל צלעותיה שוות באורכן וכל זוויותיה שוות.
מצולעים משוכללים בעלי אותו מספר צלעות מקיימים ביניהם דמיון (כלומר, נראים בדיוק אותו דבר פרט לגודלן).
כל מצולע משוכלל יכול לחסום מעגל, ולהיות חסום בו. מרכז המעגל החסום ומרכז המעגל החוסם יהיו באותה הנקודה.
סכום זוויות במצולע עם x צלעות הוא:  ( x – 2 )·180° 

במצולע משוכלל כל הזוויות שוות, ולכן זווית אחת תהיה שווה לסכום הזוויות לחלק למספר הזוויות  

כדאי מאוד לזכור את הזוויות של המצולעים המשוכללים הנפוצים ביותר: 
 

 

מחומש משוכלל

משושה משוכלל

מתומן משוכלל

סכום זוויות

180 · 3 = 540°

180 · 4 = 720°

180 · 6 = 1080°

גודל זווית אחת

540 : 5 = 108°

720 : 6 = 120°

1080 : 8 = 135°

 

שטח משולש משוכלל ומרובע משוכלל נחשב לפי נוסחאות השטח הרגילות.

כדאי לזכור את נוסחת השטח של משושה משוכלל:  

כאשר x הוא אורך צלע המשושה. שטח המשושה המשוכלל הוא סכום שטחי ששת המשולשים המשוכללים המרכיבים אותו, אותם נחשב לפי נוסחת שטח משולש שווה צלעות.

אין צורך להכיר נוסחת שטח למחומש משוכלל או מתומן משוכלל.

 

10. משיקים במעגל

משיק למעגל הוא קו העובר על היקף המעגל מבחוץ, מבלי לחצות את ההיקף ולהיכנס לתוך תחום המעגל. כלומר, קו שיש לו רק נקודה משותפת אחת עם היקף המעגל, גם אם נמשיך אותו עד אינסוף.

משיק למעגל מאונך לרדיוס המעגל בנקודת ההשקה של המשיק עם המעגל.

שני משיקים למעגל היוצאים מנקודה משותפת מחוץ למעגל שווים זה לזה באורך שבין הנקודה המשותפת לנקודת ההשקה של כל אחד מהם. קו היוצא מהנקודה המשותפת של שני המשיקים למרכז המעגל, חוצה את הזווית בין שני המשיקים.

הזווית שנוצרת בין מיתר במעגל לבין המשיק בנקודת ההשקה, שווה לזווית ההיקפית של אותו מיתר, כלומר הזווית שתיווצר אם יימתחו ממנו שני קווים לנקודה כלשהי על היקף המעגל 

 


 

 

11. משולש חסום במעגל

משולש חסום במעגל הוא משולש ששלושת קודקודיו נמצאים על היקף מעגל אחד, שהוא המעגל החוסם. כל משולש יכול להיות חסום במעגל.

האנכים היוצאים מאמצע כל צלע במשולש ייפגשו במרכז המעגל החוסם (אין צורך להכיר את המשפט הזה לבחינה הפסיכומטרית).
במשולש ישר זווית שחסום במעגל – היתר של המשולש הוא תמיד הקוטר של המעגל, ומרכז המעגל יהיה בדיוק באמצע היתר

 

12. מעגל חסום במשולש

מעגל חסום במשולש הוא מעגל שהיקפו משיק לשלוש צלעות המשולש. כל משולש יכול לחסום מעגל.
מרכז המעגל החסום הוא מפגש חוצי הזווית של המשולש (אין צורך להכיר את המשפט הזה לבחינה הפסיכומטרית).
כל רדיוס שנמתח לנקודת ההשקה יהיה מאונך לאחת מצלעות המשולש.

אם נחבר שתי נקודות השקה למעגל, נקבל בהכרח משולש שווה שוקיים, מכיוון ששני משיקים למעגל היוצאים מאותו קודקוד שווים בגודלם 

 

 

13. מרובע חסום במעגל

מרובע חסום במעגל הוא מרובע שכל קודקודיו מונחים על היקף של מעגל אחד.

במרובע חסום במעגל, בכל זוג של זוויות נגדיות (של קודקודים שאינם סמוכים, אלא נמצאים זה מול זה) סכומן יהיה 180°. (ראו בסרטוט: α + β = 180°).

המשפט נכון גם בכיוון השני: אם נתון מרובע שסכום זוויותיו הנגדיות הוא 180°, ניתן לחסום אותו במעגל.
מכאן שכל ריבוע ומלבן ניתן לחסום במעגל, וכך גם טרפז שווה שוקיים. 
במלבן חסום במעגל, האלכסונים הם קטרים של המעגל. מפגש האלכסונים הוא מרכז המעגל.

 

 

14. מעגל חסום במרובע

מעגל חסום במרובע הוא מעגל שמשיק לכל אחת מארבע צלעות המרובע. במרובע שיכול לחסום מעגל, סכום האורכים של זוג צלעות נגדיות שלו שווה בהכרח לסכום האורכים של זוג הצלעות הנותרות (כלומר: AB + DC = AD + BC). זה נובע מכך ששני משיקים שיוצאים מאותה נקודה שווים באורכם (בסרטוט, החלקים שצבועים זהה שווים באורכם. בכל זוג צלעות נגדיות יש חלק אחד מכל צבע).
ריבוע, דלתון ומעוין הם מרובעים שיכולים תמיד לחסום מעגל (משום שזוגות הצלעות הנגדיות בהם בהכרח זהים באורכם). נובע מכך, שאם נראה מקבילית שחוסמת מעגל – היא בהכרח מעוין, ומלבן שחוסם מעגל – הוא בהכרח ריבוע.

קו שמחבר את מרכז המעגל לאחד מקודקודי המרובע החוסם, בהכרח חוצה את זווית המרובע לשני חלקים שווים. 

 

15. קודקוד-מקצוע-פאה

קודקוד, מקצוע ופאה הם שלושה מונחים שמגדירים חלקים שונים של צורה תלת ממדית, כלומר צורה שיש לה אורך, רוחב וגובה. קובייה, גליל ופירמידה הם דוגמאות לצורות תלת ממדיות.
פאות הן המשטחים המרכיבים את הצורה. הן בעלות אורך ורוחב, ויכולות להיות עיגוליות, מרובעות, משולשות וכו'. בקובייה למשל, יש שש פאות: עליונה, תחתונה, ימנית, שמאלית, קדמית ואחורית.

חיבור של שתי פאות יוצר קו משותף, הנקרא מקצוע (כמו צלע בצורה דו-ממדית). מקצוע הוא בהכרח קווי – יש לו אורך בלבד.

בקובייה, ישנם 12 מקצועות: ארבעה סביב הפאה העליונה, ארבעה סביב הפאה התחתונה וארבעה שמחברים את הפאה העליונה לתחתונה.
חיבור של שלושה מקצועות ויותר יוצר נקודה משותפת, הנקראת קודקוד. קודקוד הוא נקודה חסרת אורך או רוחב. בקובייה, ישנם 8 קודקודים: ארבעה סביב הפאה העליונה, וארבעה סביב הפאה התחתונה בחיבורי המקצועות שלהן עם המקצועות ההיקפיים

 

 

 

16. מנסרה לעומת פירמידה

פירמידה היא צורה תלת ממדית המורכבת מארבעה משולשים המחוברים בתחתיתם לבסיס מרובע ובראשם לקודקוד אחד משותף, כך שסך הכל היא מורכבת מחמישה משטחים: ארבעה משולשים עומדים, ומרובע אחד בבסיס. יש גם סוגים נוספים של פירמידות בהן הבסיס הוא לא מרובע אלא משולש, מחומש וכו'.
מנסרה היא צורה תלת ממדית המורכבת משני משולשים, שמרובעים מחברים בין צלעותיהם. במנסרה, אין כלל מפגש בין המשולשים. בסך הכל היא מורכבת מחמישה משטחים: שני משולשים הנקראים בסיסים, ושלושה מרובעים המחברים ביניהם. יש גם סוגים נוספים של מנסרות בהן הבסיס הוא לא משולש אלא מרובע, מחומש וכו'. 

 

 

17. נפח

נפח הוא כמות החלל הכלוא בתוך צורה תלת ממדית. כלומר, כמות החומר שניתן להכניס לתוכה. נפח בדרך כלל נמדד ביחידות סמ"ק.
כדי לחשב נפח של מנסרות (צורה תלת ממדית עם שני בסיסים מקבילים) יש לכפול את את שטח הבסיס בגובה המנסרה.
כדי לחשב נפח של פירמידה (צורה תלת ממדית עם בסיס אחד וקודקוד מעליו), יש לכפול את שטח הבסיס בשליש מגובה הפירמידה.

 

 

18. שטח פנים, שטח מעטפת

שטח פנים ושטח מעטפת הם שני מונחים המתייחסים לצורה תלת ממדית, כלומר צורה שיש לה אורך, רוחב וגובה, כמו קובייה או פירמידה.

שטח הפנים של הצורה הוא כל השטח החיצוני שלה, כלומר סכום כל הפאות שלה. למשל, בקובייה, שטח פנים הוא סכום של ששה משטחים: העליון, התחתון וארבעת הצדדים. בפירמידה שבסיסה ריבוע, שטח הפנים יהיה סכום של חמישה משטחים: הבסיס הריבועי וארבעת ה"קירות" המשולשים.
שטח המעטפת לעומת זאת הוא השטח ש"עוטף" את הצורה מצדדיה, ללא הבסיסים העליון והתחתון. בקובייה למשל, שטח מעטפת הוא סכום של ארבעה משטחים (ארבע הפאות הצדדיות, בלי ה"רצפה והתקרה").  בפירמידה ריבועית שטח המעטפת הוא הסכום של ארבע הפאות המשולשות (ללא שטח הבסיס).

במקרים מסוימים במקום לחשב את השטח של כל פאה בנפרד, ניתן להיעזר בנוסחאות:
שטח מעטפת של מנסרה (כולל תיבה, קובייה, גליל וכו') הוא: היקף הבסיס × גובה.

שטח פנים של מנסרה הוא: היקף הבסיס × גובה + שטח שני בסיסים.
 

19. המרת יחידות: מ"מ - ס"מ - מטר - ק"מ

מטר הוא יחידת האורך הבסיסית, וביחס אליה ניתן לחשב מילימטר, סנטימטר, קילומטר וכו'.

מילימטר הוא אלפית המטר. לכן, מטר אחד שווה לאלף פעמים מילימטר. כדי להמיר ערך של מטרים לערך של מילימטרים, נכפיל אותו באלף: למשל, 5 מטרים שווים ל: 5000 מ"מ5 ·  1000 = .

כדי להמיר ערך במילימטרים לערך במטרים, נבצע את הפעולה ההפוכה: נחלק באלף. כך, 1300 מ"מ הם 1.3 מטרים 1300 : 1000 = . 1000 מ"מ מרכיבים מטר אחד, ו-300 המ"מ הנותרים מרכיבים 0.3 מטרים.

כדי להמיר ממטר לסנטימטר, נכפיל במאה, כלומר נספור את כל מאה הס"מ שיוצרים מטר אחד. לפיכך, 18 מטרים שווים ל: 1800 ס"מ 18 · 100 = .

כדי להמיר מס"מ למטרים, נבצע את הפעולה ההפוכה: נחלק במאה. כך, 184 ס"מ הם: 1.84  מטרים 184 : 100 = .
100 ס"מ מרכיבים מטר אחד, ו-84 הסנטימטרים הנוספים מרכיבים 0.84 מטרים.

אם כך, מטר אחד הוא 1000 מ"מ אבל גם 100 ס"מ. מכאן ש-1000 מ"מ שווים בדיוק ל-100 ס"מ. נובע מכך שס"מ אחד שווה ל-10 מ"מ. כלומר, כדי להמיר מס"מ למ"מ נכפיל ב-10, וכדי לעבור ממ"מ לס"מ נחלק ב-10.

קילומטר הוא מטר כפול 1000. מכאן שכדי לעבור מערך בקילומטרים לערך במטרים, נכפיל ב-1000. כך, 32 ק"מ הם 32000 מטרים =32 · 1000 .
כדי להמיר ממטרים לק"מ נחלק ב-1000. כך, 8000 מטרים הם 8 ק"מ 8000 : 1000 = .
כדי לסכם, נדגים מעבר ממ"מ לק"מ. נעבור דרך מטרים: ממ"מ למטר נחלק ב-1000, וממטר לק"מ נחלק שוב ב-1000. כך, 250000 מ"מ הם 250 מטרים 250000 : 1000 = .
250 מטרים הם 0.25 ק"מ 250 : 1000 = .

 
 

20. המרת יחידות: שנייה-שעה-יום-שבוע

שבוע מורכב מ-7 ימים. לכן, כדי להמיר שבועות לימים, נכפול ב-7: ארבעה שבועות הם 28 ימים =4 · 7
כדי להמיר ימים לשבועות, נחלק ב7-:21 ימים הם 3 שבועות 21:7 = .
יום מורכב מ-24 שעות. לכן, כדי להמיר ימים לשעות, נכפיל ב-24: שלושה ימים הם
72 שעות =3 ·24 . כדי להמיר שעות לימים, נחלק ב-24: למשל, 240 שעות הן 10 ימים  240 : 24 =.

שעה מורכבת מ-60 דקות, שכל אחת מהן מורכבת מ-60 שניות. לכן, שעה מורכבת סה"כ מ-3600 שניות  =60 · 60 .
כדי להמיר שעות לשניות, נכפיל ב-3600: שעתיים למשל הן 7200 שניות =2 ·3600.
כדי להמיר משניות לשעות, נחלק ב-3600: 360 שניות הן 110 שעה 360 : 3600 =.

כדי לסכם, נדגים מעבר משבועות לשניות, דרך מעבר בימים ושעות:

שבוע אחד הוא 7 ימים.
7 ימים הם 168 שעות 7 · 24 = .
168 שעות הן 604800 שניות 168 · 3600 =.
סך הכל, בשבוע אחד יש 604,800  שניות

 

 

21. המרת יחידות: קמ"ש-מטר בשנייה

קמ"ש היא יחידת מהירות שמשמעותה קילומטרים בשעה, כלומר מספר הק"מ שגוף עובר בשעה אחת. כדי להמיר אותה ליחידה של מטרים בשנייה, יש צורך להשתמש בשתי התאמות: המרת המרחק – מק"מ למטרים, והתאמת הזמן - משעות לשניות.
לדוגמה, מהירות של 90 קמ"ש היא 90 ק"מ בשעה אחת.
קילומטרים הם אלפי מטרים, ולכן 90 ק"מ הם 90000 מטרים =90 · 1000 .

שעה היא 60 דקות המורכבות כל אחת מ-60 שניות, כלומר בשעה אחת יש 3600 שניות =60 · 60.
מכאן ש-90 ק"מ לחלק לשעה אחת שווים בערכם ל-90000 מטרים לחלק ל-3600 שניות, כלומר 25 מטרים בשנייה = 

בסך הכל, הכפלנו את שני האיברים: את הדרך ב-1000 ואת הזמן ב-3600. מפני שהמרחק נמצא במונה התוצאה והזמן במכנה שלה, ניתן לחלק ב-1000 ולהגיע ליחס של 1 : 3.6.
כלומר, כדי לעבור מקמ"ש למטר בשנייה, נחלק את הקמ"ש הנתון ב-3.6 (או 3610).

ניתן להיעזר ביחס גם בכיוון ההפוך: כדי לעבור ממטר בשנייה לקמ"ש, נכפול ב-3.6 (או 3610) 

22. המרה משבר לאחוז

אחוזים הם חלק מתוך השלם, כאשר השלם הוא תמיד 100. שבר, לעומת זאת, הוא חלק מתוך השלם, כאשר השלם יכול להיות כל שלם, למשל 20. נניח ונתון השבר 3/20. כדי להעביר אותו לתצורה של אחוז, יש צורך שהשלם שלו, כלומר המכנה, יהיה 100. כדי לעשות זאת יש להכפיל את 20 ב-5. לפי חוקי שברים, יש להכפיל את המונה – החלק העליון של השבר – באותו מספר, כדי לשמור על יחס זהה בין המונה והמכנה, וכך לשמור על ערך השבר. הכפלה ב-5 תתן את התוצאה 15/100. כעת התקבל שבר שהשלם שלו הוא 100, כלומר אחוז. 15/100 הם 15%.

 

23. נוסחת האחוז

אחוזים הם חלק מתוך השלם, כאשר השלם הוא תמיד 100. כך, מבצע של 50% הנחה חוסך לנו 50/100.

כדי להבין את המשמעות המספרית של אחוז, נשתמש בנוסחה:
כך, אם מחיר הבגד הוא 50% ממחירו המקורי, כאשר המחיר המקורי הוא 400 שקלים, המחיר החדש הוא 200 הוא החלק, כלומר השווי של 50% מתוך שלם של 200.

 

 

24. נוסחת הממוצע

ממוצע הוא הגודל האמצעי, מתוך קבוצה בעלת ערכי גודל שונים. כך, בקבוצת תלמידים בעלי ציונים שונים, הממוצע ישקף את האמצע בין כלל הציונים. כדי לחשב את הממוצע, נסכום את כל הנתונים, ואז נחלק במספר האיברים, כך: 
 בדוגמה שלנו, נסכום את כל הציונים, ונחלק אותם במספר הנבחנים. אם נתון כי נבחן אחד קיבל 100 ושלושה אחרים קיבלו 90, נחשב את הממוצע שלהם כך:  
ונקבל שהממוצע הוא 92.5. נשים לב – ממוצע ערכים יכול להיות גם ערך שלא קיים ברשימה המקורית. הוא מייצג את הגודל האמצעי של כל הערכים, שאינו בהכרח גודל שקיים בקבוצה המקורית.

 

25. נוסחת הממוצע המשוקלל

ממוצע משוקלל הוא חישוב של ממוצע שבו לא כל הערכים בעלי אותה חשיבות בתוצאה הסופית. לדוגמה, ציון סופי מורכב מ-20% ציון שיעורי בית ו-80% ציון במבחן. תלמיד קיבל 100 בשיעורי הבית אבל 60 במבחן. כדי לחשב את הציון הסופי שלו נשתמש בנוסחת הממוצע המשוקלל:
(איבר ראשון · משקל האיבר הראשון) + (איבר שני · משקל האיבר השני) = ממוצע משוקלל.

במקרה שלנו, משקל שיעורי הבית הוא 20% - כלומר 20/100 = 0.2, ומשקל המבחן הוא 80% - כלומר 80/100 = 0.8. (סכום המשקלים חייב להיות 1, כלומר 100%).
נציב את הנתונים בנוסחה: 100·0.2 + 60·0.8 = 68 זהו הציון הסופי של התלמיד.
למרות שציון שיעורי הבית היה 100, לציון המבחן חשיבות רבה יותר – משקל גדול יותר – ולכן הציון הסופי קרוב יותר לציון המבחן. ההשפעה של החשיבות על הממוצע היא המשמעות של ממוצע משוקלל.

 

26. נוסחת התנועה

בעיות תנועה הן בעיות המורכבות משלושה גורמים: מהירות, זמן ודרך. היחסים ביניהם הם כאלה: מהירות · זמן = דרך.
הדרך היא המרחק שעבר הגוף (במטרים, ס"מ, ק"מ וכו').

למשל, בנסיעה במהירות 120 קמ"ש לאורך 3 שעות עוברים דרך של 360 ק"מ 120 · 3 =.
ניתן לעבוד עם הנוסחה גם בצורות אחרות. למשל, אם ידוע כי הדרך שגוף עבר היא 100 קילומטרים וזמן נסיעתו היה שעתיים, נחלק את הדרך בזמן הנתון. המהירות המתקבלת היא 50 קמ"ש 100 : 2 =.
במקרה בו ידועות דרך ומהירות, נמצא את הזמן באותה הצורה: כדי לעבור דרך של 280 ק"מ במהירות 70 קמ"ש הזמן הדרוש הוא 4 שעות280 : 70 = .

 

27. נוסחת ההספק

הספק, בדומה לתנועה, מורכב משלושה גורמים: הספק, זמן ועבודה. היחסים ביניהם הם כאלה: הספק · זמן = עבודה.

הספק הוא הקצב שבו מבצעים עבודה (כמה יחידות ממנה עושים ביחידת זמן אחת), העבודה היא המשימה שיש לבצע בהספק נתון ובזמן נתון.

כך למשל, אם פועל תופר 3 חולצות בשעה, ועובד במשך שעתיים, העבודה הכוללת שיבצע תהיה: 6 חולצות =3 · 2 .

גם כאן, ניתן להציב בנוסחה מרכיבים שונים. אם ידוע כי הפועל תפר 4 חולצות ב-4 שעות, נחלק את העבודה בזמן ונקבל כי ההספק של הפועל הוא: 1 חולצה בשעה 4 : 4 =.

אם ידוע כי הפועל תפר 18 חולצות והספקו הוא 3 חולצות בשעה, נחלק את העבודה בהספק ונגלה כי הזמן שעבד הפועל הוא: 6 שעות 18 : 3 =.

 

28. נוסחת ההסתברות

הסתברות היא הסיכוי שמאורע מסוים יתרחש. ההסתברות, או הסיכוי, מורכבת משני חלקים: ה'מצוי' – כלומר כל הדברים שעשויים לקרות, וה'רצוי' – המאורע שאנחנו רוצים בהתרחשותו.

כדי למצוא את הסיכוי, נחלק את מספר המאורעות הרצויים בכלל המאורעות האפשריים, כך: 

לדוגמה: נניח שבכיתה יש 10 בנות ו-15 בנים, ואנו רוצים לחשב מה הסיכוי שבבחירת תלמיד אקראי מהכיתה תתקבל בת. המצוי הוא כלל התלמידים בכיתה, כלומר 25. המקרה הרצוי הוא שתתקבל בת, ויש 10 אפשרויות לכך. אם כך, הסיכוי המבוקש הוא: 10/25 = 2/5.

ניתן גם להשתמש בנוסחה בצורה מעט שונה, בהתאם לנתונים. אם ידוע שבכיתה יש 30 תלמידים ושההסתברות לקבל בבחירה אקראית בת הוא 1/3, נוכל לחשב את מספר הבנות בכיתה. אנו יודעים שההסתברות לקבל בת היא מספר הבנות (הרצוי) חלקי מספר התלמידים הכולל (המצוי). מכאן נקבל: 


כלומר, יש 10 בנות ו-20 בנים בכיתה.
 

X